February 10, 2018

Download PDF by Bernard Le Stum: Algèbre Linéaire 2

By Bernard Le Stum

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On rappelle qu’il revient au même de se donner une base B d’un espace vectoriel E ou une paramétrisation (bijective) Φ : K n → E : si (e1 , . . , en ) désigne la base canonique de K n et B := (u1 , . . , un ), on a tout simplement Φ(ei ) = ui . 2 Si Φ : K n → E est la paramétrisation d’un espace vectoriel E correspondant à une base B de E, alors pour tout u ∈ E, on a [u]B = [Φ−1 (u)]. B04 – Version du December 2, 2008 57 Démonstration : Par définition, si (e1 , . . , en ) désigne la base canonique de K n et B := (u1 , .

F (un ) = vn . B04 – Version du December 2, 2008 45 Tout u ∈ E s’écrit de manière unique u =: λ1 u1 + · · · + λn un et on a donc f (u) = λ1 v1 + · · · + λn vn . D’où l’unicité. Réciproquement, on peut toujours définir f comme ceci et vérifier qu’elle est bien linéaire : En effet, si on a aussi u =: λ1 u1 + · · · + λn un et µ, µ ∈ K, on doit vérifier que f (µu + µ u ) = µf (u) + µ f (u ). Or, on a et donc µu + µ u =: (µλ1 + µ λ1 )u1 + · · · + (µλn + µ λn )un f (µu + µ u ) =: (µλ1 + µ λ1 )v1 + · · · + (µλn + µ λn )vn .

6 Si E et F sont deux espaces vectoriels, on a dim L(E, F ) = dim E × dim F. Démonstration : En particulier, dim Eˇ = dim E et dim L(E) = (dim E)2 . 7 Si B et C sont des bases d’espaces vectoriels E et F respectivement, si u ∈ E et si f : E → F est linéaire, on a [f (u)]C = [f ]CB [u]B . Si B, C et D sont des bases de E, F et G respectivement, et si f : E → F et g : F → G sont linéaires, on a D C [g ◦ f ]D B = [g]C [f ]B . B04 – Version du December 2, 2008 59 Démonstration : À nouveau, on se ramène au cas de la base canonique en utilisant des paramétrisations.

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Algèbre Linéaire 2 by Bernard Le Stum


by Mark
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